คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเอนโทรปีคืออะไร และเหตุใดจึงไม่เป็นลบ
เอนโทรปีเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีสารสนเทศและมีบทบาทสำคัญในหลายสาขา รวมถึงความปลอดภัยทางไซเบอร์และการเข้ารหัสควอนตัม ในบริบทของเอนโทรปีแบบคลาสสิก คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเอนโทรปีได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจนและให้ข้อมูลเชิงลึกอันมีค่าเกี่ยวกับธรรมชาติของข้อมูลและความไม่แน่นอนของข้อมูล ในคำตอบนี้ เราจะสำรวจคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์เหล่านี้และอธิบายว่าเหตุใดเอนโทรปีจึงไม่เป็นลบ
ก่อนอื่น เรามานิยามเอนโทรปีกันก่อน ในทฤษฎีสารสนเทศ เอนโทรปีจะวัดปริมาณข้อมูลโดยเฉลี่ยที่มีอยู่ในตัวแปรสุ่ม โดยจะวัดปริมาณความไม่แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ในทางคณิตศาสตร์ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่มีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น P(X) จะได้เอนโทรปี H(X) โดย:
H(X) = -∑ P(x) บันทึก₂ P(x)
โดยที่ผลรวมจะอยู่เหนือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด x ของ X โดยทั่วไปลอการิทึมจะถูกนำไปที่ฐาน 2 ส่งผลให้เอนโทรปีถูกวัดเป็นบิต
ตอนนี้เรามาพิจารณาคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเอนโทรปีกัน คุณสมบัติแรกคือเอนโทรปีไม่เป็นลบเสมอ ซึ่งหมายความว่าเอนโทรปีของตัวแปรสุ่มหรือระบบไม่สามารถเป็นลบได้ เพื่อทำความเข้าใจว่าเหตุใดเอนโทรปีจึงไม่เป็นลบ เราต้องพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกเท่านั้น ในสูตรเอนโทรปี ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น P(x) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่แต่ละค่า x จะเกิดขึ้น เนื่องจากความน่าจะเป็นไม่เป็นลบ (เช่น P(x) ≥ 0) ลอการิทึมของความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นลบจึงถูกกำหนดไว้ ยิ่งไปกว่านั้น ลอการิทึมของ 1 เท่ากับ 0 ดังนั้น แต่ละพจน์ในการรวมของสูตรเอนโทรปีจะไม่เป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ เป็นผลให้ผลรวมของเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบจะไม่เป็นลบเช่นกัน ทำให้มั่นใจว่าเอนโทรปีไม่เป็นลบ
เพื่ออธิบายคุณสมบัตินี้ ให้พิจารณาการโยนเหรียญอย่างยุติธรรม ตัวแปรสุ่ม X แสดงถึงผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ โดยที่ X = 0 สำหรับหัวและ X = 1 สำหรับก้อย ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น P(X) กำหนดโดย P(0) = 0.5 และ P(1) = 0.5 เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรเอนโทรปี เราจะได้:
H(X) = -(0.5 บันทึก₂ 0.5 + 0.5 บันทึก₂ 0.5) = -(-0.5 – 0.5) = 1
เอนโทรปีของการโยนเหรียญที่ยุติธรรมคือ 1 บิต ซึ่งบ่งชี้ว่ามีความไม่แน่นอนเล็กน้อยที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ
นอกจากจะไม่เป็นลบแล้ว เอนโทรปียังมีคุณสมบัติที่สำคัญอื่นๆ อีกด้วย คุณสมบัติอย่างหนึ่งก็คือเอนโทรปีจะถูกขยายให้ใหญ่สุดเมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น P(x) มีค่าเท่ากับ P(x) = 1/N สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด x โดยที่ N คือจำนวนของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เอนโทรปีจะถูกขยายให้ใหญ่สุด คุณสมบัตินี้สอดคล้องกับสัญชาตญาณของเราที่ว่ามีความไม่แน่นอนสูงสุดเมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน
นอกจากนี้ เอนโทรปียังเป็นส่วนเสริมสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ หากเรามีตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y เอนโทรปีของการแจกแจงร่วมของพวกมันคือผลรวมของเอนโทรปีแต่ละตัว ในทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัตินี้สามารถแสดงเป็น:
H(X, Y) = H(X) + H(Y)
คุณสมบัตินี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อวิเคราะห์เอนโทรปีของระบบคอมโพสิต หรือเมื่อต้องจัดการกับแหล่งข้อมูลหลายแหล่ง
คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเอนโทรปีในทฤษฎีสารสนเทศคลาสสิกมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน เอนโทรปีไม่เป็นลบ ขยายให้ใหญ่สุดเมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน และบวกเพิ่มสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ คุณสมบัติเหล่านี้เป็นรากฐานที่มั่นคงสำหรับการทำความเข้าใจธรรมชาติของข้อมูลและความไม่แน่นอนของข้อมูล
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ เอนโทรปีคลาสสิก:
- การทำความเข้าใจเอนโทรปีมีส่วนช่วยในการออกแบบและประเมินอัลกอริธึมการเข้ารหัสที่มีประสิทธิภาพในด้านความปลอดภัยทางไซเบอร์อย่างไร
- ค่าสูงสุดของเอนโทรปีคือเท่าใด และจะเกิดขึ้นเมื่อใด
- เอนโทรปีของตัวแปรสุ่มหายไปภายใต้เงื่อนไขใด และสิ่งนี้บอกเป็นนัยเกี่ยวกับตัวแปรอย่างไร
- เอนโทรปีของตัวแปรสุ่มเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อความน่าจะเป็นมีการกระจายเท่าๆ กันระหว่างผลลัพธ์ เมื่อเปรียบเทียบกับเมื่อมีอคติต่อผลลัพธ์เดียว
- เอนโทรปีแบบไบนารีแตกต่างจากเอนโทรปีแบบดั้งเดิมอย่างไร และมีวิธีการคำนวณสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไบนารีที่มีสองผลลัพธ์อย่างไร
- ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวที่คาดหวังของคำรหัสและเอนโทรปีของตัวแปรสุ่มในการเข้ารหัสความยาวผันแปรคืออะไร?
- อธิบายว่าแนวคิดของเอนโทรปีคลาสสิกถูกนำมาใช้ในรูปแบบการเข้ารหัสความยาวผันแปรเพื่อการเข้ารหัสข้อมูลที่มีประสิทธิภาพได้อย่างไร
- คุณสมบัติของเอนโทรปีคลาสสิกคืออะไร และเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างไร
- เอนโทรปีแบบคลาสสิกวัดความไม่แน่นอนหรือการสุ่มในระบบที่กำหนดได้อย่างไร