ผลลัพธ์ของเพรดิเคตคืออะไร?

/ / ตีพิมพ์ใน cybersecurity, EITC/IS/CCTF พื้นฐานทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์, ตรรกะ, ตรรกะภาคแสดงลำดับที่หนึ่ง - ภาพรวม

ตรรกะภาคแสดงลำดับที่หนึ่ง หรือที่รู้จักกันในชื่อ ตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง (FOL) เป็นระบบทางการที่ใช้ในคณิตศาสตร์ ปรัชญา ภาษาศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ มันขยายตรรกะเชิงประพจน์โดยการรวมเอาปริมาณและภาคแสดงซึ่งช่วยให้ภาษาที่แสดงออกมากขึ้นสามารถนำเสนอข้อความที่หลากหลายเกี่ยวกับโลกได้กว้างขึ้น ระบบลอจิคัลนี้เป็นรากฐานในสาขาต่างๆ รวมถึงทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณและความปลอดภัยทางไซเบอร์ ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับอัลกอริทึม ระบบ และคุณสมบัติด้านความปลอดภัย

ในตรรกะเพรดิเคตลำดับที่หนึ่ง เพรดิเคตคือฟังก์ชันที่รับอาร์กิวเมนต์ตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไปและส่งกลับค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ เพรดิเคตใช้เพื่อแสดงคุณสมบัติของวัตถุหรือความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ ตัวอย่างเช่น ในขอบเขตของวาทกรรมที่เกี่ยวข้องกับบุคคล ภาคแสดงอาจเป็น "isTall(x)" ซึ่งรับอาร์กิวเมนต์เดียว x และส่งคืนค่าจริงหาก x สูงและเป็นเท็จ อีกตัวอย่างหนึ่งอาจเป็น "isSibling(x, y)" ซึ่งรับอาร์กิวเมนต์ x และ y สองตัวแล้วคืนค่าเป็นจริงหาก x และ y เป็นพี่น้องกัน มิฉะนั้นจะเป็นเท็จ

เพื่อทำความเข้าใจว่าเหตุใดภาคแสดงในตรรกะลำดับที่หนึ่งจึงให้ค่าความจริง จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องพิจารณาโครงสร้างและความหมายของระบบตรรกะนี้ ตรรกะลำดับที่หนึ่งประกอบด้วยส่วนประกอบต่อไปนี้:

1. ตัวแปร: สัญลักษณ์ที่ใช้แทนธาตุในขอบเขตวาทกรรม ตัวอย่าง ได้แก่ x, y, z
2. ค่าคงที่: สัญลักษณ์ที่อ้างถึงองค์ประกอบเฉพาะในโดเมน ตัวอย่าง ได้แก่ a, b, c
3. ภาคแสดง: สัญลักษณ์ที่แสดงถึงคุณสมบัติหรือความสัมพันธ์ มักเขียนแทนด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น P, Q, R
4. ฟังก์ชั่น: สัญลักษณ์ที่จับคู่องค์ประกอบของโดเมนกับองค์ประกอบอื่นๆ ตัวอย่าง ได้แก่ f, g, h
5. ปริมาณ: สัญลักษณ์ที่แสดงขอบเขตที่ภาคแสดงใช้กับโดเมน ปริมาณหลักสองตัวคือปริมาณสากล (∀) และปริมาณที่มีอยู่ (∃)
6. การเชื่อมต่อเชิงตรรกะ: สัญลักษณ์ที่รวมภาคแสดงและข้อความสั่ง ซึ่งรวมถึงคำเชื่อม (∧), การแยกออกจากกัน (∨), การปฏิเสธ (ฌ), นัย (→) และเงื่อนไขสองเงื่อนไข (↔)

ไวยากรณ์ของตรรกะลำดับที่หนึ่งจะกำหนดวิธีการรวมส่วนประกอบเหล่านี้เพื่อสร้างสูตรที่มีรูปแบบที่ถูกต้อง (WFF) WFF คือสตริงของสัญลักษณ์ที่ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์ตามกฎของระบบลอจิคัล ตัวอย่างเช่น ถ้า P เป็นภาคแสดงและ x เป็นตัวแปร ดังนั้น P(x) จะเป็น WFF ในทำนองเดียวกัน ถ้า Q เป็นภาคแสดงที่มีสองอาร์กิวเมนต์ Q(x, y) ก็เป็น WFF เช่นกัน

ความหมายของตรรกะลำดับที่หนึ่งให้ความหมายของสูตรเหล่านี้ การตีความภาษาลำดับที่หนึ่งเกี่ยวข้องกับสิ่งต่อไปนี้:

1. โดเมนของวาทกรรม: ชุดขององค์ประกอบที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีช่วงของตัวแปร
2. ฟังก์ชั่นการตีความ: การแมปที่กำหนดความหมายให้กับค่าคงที่ ฟังก์ชัน และภาคแสดงในภาษา โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะกำหนด:
– องค์ประกอบของโดเมนของแต่ละค่าคงที่
– ฟังก์ชันจากโดเมนไปยังโดเมนสำหรับสัญลักษณ์ฟังก์ชันแต่ละตัว
– ความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนกับสัญลักษณ์ภาคแสดงแต่ละอัน

เมื่อพิจารณาจากการตีความและการกำหนดค่าให้กับตัวแปร จึงสามารถกำหนดค่าความจริงของ WFF ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาภาคแสดง "isTall(x)" ในโดเมนของบุคคล หากฟังก์ชันการตีความกำหนดคุณสมบัติของความสูงให้กับภาคแสดง "isTall" แล้ว "isTall(x)" จะเป็นจริงหากบุคคลที่แทนด้วย x นั้นสูง มิฉะนั้นจะเป็นเท็จ

ตัวระบุปริมาณมีบทบาทสำคัญในตรรกะลำดับที่หนึ่งโดยอนุญาตให้ใช้คำสั่งเกี่ยวกับองค์ประกอบทั้งหมดหรือบางส่วนของโดเมน ปริมาณสากล (∀) แสดงว่าภาคแสดงมีองค์ประกอบทั้งหมดในโดเมน ในขณะที่ปริมาณที่มีอยู่ (∃) ระบุว่ามีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในโดเมนที่ภาคแสดงถือ

ตัวอย่างเช่น:
– ข้อความ "∀x isTall(x)" หมายถึง "ทุกคนมีส่วนสูง"
– ข้อความ "∃x isTall(x)" หมายถึง "มีคนสูงอย่างน้อยหนึ่งคน"

ตัวระบุปริมาณเหล่านี้รวมกับภาคแสดงช่วยให้สามารถสร้างข้อความเชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งสามารถประเมินได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จตามการตีความ

เพื่ออธิบายเพิ่มเติม ให้พิจารณาโดเมนที่ประกอบด้วยคนสามคน ได้แก่ อลิซ บ๊อบ และแครอล ให้ตีความภาคแสดง "isTall(x)" ว่าอลิซและบ็อบมีส่วนสูง แต่แครอลไม่สูง ฟังก์ชันการตีความจะกำหนดค่าความจริงดังต่อไปนี้:
– isTall(อลิซ) = จริง
– isTall(บ๊อบ) = จริง
– isTall(แครอล) = เท็จ

ตอนนี้ ให้พิจารณาข้อความต่อไปนี้:
1. "∀x isTall(x)" – ข้อความนี้เป็นเท็จ เพราะไม่ใช่ทุกคนในโดเมนจะสูง (แครอลไม่ได้สูง)
2. "∃x isTall(x)" – ข้อความนี้เป็นจริงเพราะมีคนในโดเมนที่สูง (อลิซและบ็อบ)

ค่าความจริงของข้อความเหล่านี้ถูกกำหนดโดยการตีความภาคแสดงและขอบเขตของวาทกรรม

ในทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์และความปลอดภัยทางไซเบอร์ ตรรกะอันดับหนึ่งถูกใช้เพื่อพิจารณาคุณสมบัติของอัลกอริทึม โปรโตคอล และระบบ ตัวอย่างเช่น ในการตรวจสอบอย่างเป็นทางการ สามารถใช้ตรรกะลำดับแรกเพื่อระบุและตรวจสอบความถูกต้องของระบบซอฟต์แวร์และฮาร์ดแวร์ได้ เพรดิเคตอาจแสดงถึงคุณสมบัติความปลอดภัย เช่น "isAuthenticated(user)" ซึ่งจะคืนค่าเป็นจริงหากผู้ใช้ได้รับการตรวจสอบสิทธิ์ และจะเป็นเท็จ ด้วยการใช้ตรรกะลำดับที่หนึ่ง เราสามารถพิสูจน์อย่างเป็นทางการว่าระบบเป็นไปตามคุณสมบัติความปลอดภัยบางอย่างภายใต้เงื่อนไขที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรือไม่

นอกจากนี้ ตรรกะลำดับที่หนึ่งยังเป็นพื้นฐานในการศึกษาความสามารถในการตัดสินใจและความซับซ้อนในการคำนวณ ปัญหา Entscheidungs ​​ซึ่งวางโดย David Hilbert ถามว่ามีอัลกอริทึมที่สามารถระบุความจริงหรือความเท็จของคำสั่งลอจิกลำดับที่หนึ่งที่กำหนดได้หรือไม่ Alan Turing และ Alonzo Church พิสูจน์อย่างอิสระว่าไม่มีอัลกอริธึมดังกล่าวอยู่ ทำให้เกิดความไม่แน่ใจของตรรกะลำดับที่หนึ่ง ผลลัพธ์นี้มีผลกระทบอย่างลึกซึ้งต่อขีดจำกัดของการคำนวณและความซับซ้อนของการให้เหตุผลเชิงตรรกะ

ในการใช้งานจริง เครื่องมือพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติและการตรวจสอบแบบจำลองมักใช้ตรรกะลำดับที่หนึ่งเพื่อตรวจสอบคุณสมบัติของระบบ เครื่องมือเหล่านี้ใช้ข้อกำหนดเชิงตรรกะเป็นอินพุตและพยายามพิสูจน์ว่าคุณสมบัติที่ระบุมีอยู่หรือไม่ ตัวอย่างเช่น ตัวตรวจสอบโมเดลอาจตรวจสอบว่าโปรโตคอลเครือข่ายเป็นไปตามคุณสมบัติความปลอดภัยบางอย่างหรือไม่โดยการแสดงคุณสมบัติเหล่านี้ในตรรกะลำดับแรกและสำรวจสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของโปรโตคอล

ภาคแสดงในตรรกะลำดับที่หนึ่งจะให้ค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ ขึ้นอยู่กับการตีความและขอบเขตของวาทกรรม คุณลักษณะนี้ทำให้ตรรกะอันดับหนึ่งเป็นระบบที่ทรงพลังและแสดงออกอย่างเป็นทางการสำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับคุณสมบัติและความสัมพันธ์ในสาขาต่างๆ รวมถึงคณิตศาสตร์ ปรัชญา ภาษาศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และความปลอดภัยทางไซเบอร์

คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ EITC/IS/CCTF พื้นฐานทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์:

ดูคำถามและคำตอบเพิ่มเติมใน EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals

คำถามและคำตอบเพิ่มเติม:

Tagged under: , , , , ,