อธิบายแนวคิดของการลดทอนและบทบาทของมันในการพิสูจน์ความไม่แน่นอน
การลดทอนความสามารถเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณซึ่งมีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ความไม่สามารถตัดสินใจได้ เป็นเทคนิคที่ใช้เพื่อระบุความไม่สามารถตัดสินใจได้ของปัญหาโดยลดปัญหาให้เหลือเพียงปัญหาที่ทราบแล้วและไม่สามารถตัดสินใจได้ โดยพื้นฐานแล้ว การลดทอนความสามารถช่วยให้เราแสดงให้เห็นได้ว่าหากเรามีอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาดังกล่าว เราก็สามารถใช้อัลกอริทึมนั้นในการแก้ปัญหาที่ทราบแล้วและไม่สามารถตัดสินใจได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่ขัดแย้งกันเอง
เพื่อทำความเข้าใจการลดขนาด ขั้นแรกให้กำหนดแนวคิดของปัญหาการตัดสินใจ ปัญหาการตัดสินใจเป็นปัญหาทางการคำนวณที่ต้องการคำตอบใช่/ไม่ใช่ ตัวอย่างเช่น ปัญหาในการพิจารณาว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบเป็นปัญหาการตัดสินใจ เราสามารถแสดงปัญหาการตัดสินใจเป็นภาษาทางการ โดยที่สตริงในภาษานั้นเป็นกรณีที่คำตอบคือ "ใช่"
ทีนี้ เรามาพิจารณาปัญหาการตัดสินใจสองข้อ P และ Q เราบอกว่า P สามารถลดค่าเป็น Q ได้ (แสดงเป็น P ≤ Q) ถ้ามีฟังก์ชันคำนวณ f ที่แปลงอินสแตนซ์ของ P เป็นอินสแตนซ์ของ Q ในลักษณะที่คำตอบ สำหรับตัวอย่าง x ของ P คือ "ใช่" ก็ต่อเมื่อคำตอบของ f(x) ของ Q คือ "ใช่" กล่าวอีกนัยหนึ่ง f จะรักษาคำตอบของปัญหาไว้
แนวคิดหลักที่อยู่เบื้องหลังความสามารถในการลดทอนคือ ถ้าเราลดปัญหา P ให้เป็นปัญหา Q ได้ ดังนั้น Q ก็จะยากเท่ากับ P เป็นอย่างน้อย ถ้าเรามีอัลกอริทึมในการแก้ Q เราสามารถใช้มันร่วมกับฟังก์ชันการลดขนาด f เพื่อแก้ปัญหา P. หมายความว่าถ้า Q ตัดสินใจไม่ได้ P ก็ต้องตัดสินใจไม่ได้เช่นกัน ดังนั้น ความสามารถในการลดทอนช่วยให้เราสามารถ "ถ่ายโอน" ความไม่แน่นอนจากปัญหาหนึ่งไปยังอีกปัญหาหนึ่งได้
เพื่อพิสูจน์ความไม่แน่นอนโดยใช้การลดทอน โดยทั่วไปเราจะเริ่มด้วยปัญหาที่ตัดสินใจไม่ได้ เช่น ปัญหาการหยุด ซึ่งถามว่าโปรแกรมหนึ่งหยุดตามอินพุตที่กำหนดหรือไม่ จากนั้นเราจะแสดงให้เห็นว่าถ้าเรามีอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาที่เราสนใจ เราก็สามารถใช้มันเพื่อแก้ปัญหาการหยุดชะงักซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้งได้ สิ่งนี้กำหนดความไม่แน่นอนของปัญหาของเรา
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาในการพิจารณาว่าโปรแกรม P ที่กำหนดยอมรับอินพุตใดๆ หรือไม่ เราสามารถลดปัญหาการหยุดทำงานของปัญหานี้ได้โดยการสร้างฟังก์ชันลดขนาด f ที่ใช้เป็นอินพุตของโปรแกรม Q และอินพุต x และส่งออกโปรแกรม P ซึ่งทำงานดังนี้: ถ้า Q หยุดบน x ดังนั้น P จะยอมรับอินพุตใดๆ มิฉะนั้น P จะเข้าสู่ลูปไม่สิ้นสุดสำหรับอินพุตใดๆ ถ้าเรามีอัลกอริทึมเพื่อแก้ปัญหาในการตัดสินว่า P ยอมรับอินพุตใด ๆ เราสามารถใช้มันเพื่อแก้ปัญหาการหยุดโดยนำไปใช้กับ f(Q, x) ดังนั้นปัญหาในการพิจารณาว่าโปรแกรมยอมรับอินพุตใด ๆ นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้
ความสามารถในการลดขนาดเป็นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพในทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์ที่ช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ความไม่แน่นอนของปัญหาโดยการลดปัญหาให้เป็นปัญหาที่ตัดสินใจไม่ได้ โดยการสร้างการลดลงจากปัญหา P เป็นปัญหา Q เราแสดงว่า Q นั้นยากพอๆ กับ P เป็นอย่างน้อย และถ้า Q ไม่สามารถตัดสินใจได้ ดังนั้น P จะต้องตัดสินใจไม่ได้เช่นกัน เทคนิคนี้ช่วยให้เราสามารถถ่ายโอนความไม่แน่ใจระหว่างปัญหาต่างๆ และเป็นเครื่องมือที่มีค่าสำหรับการทำความเข้าใจขีดจำกัดของการคำนวณ
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ความสามารถในการตัดสินใจ:
- เทปสามารถจำกัดขนาดของอินพุตได้หรือไม่ (ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนหัวของเครื่องทัวริงที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่เกินกว่าอินพุตของเทป TM)
- การที่ Turing Machines รุ่นต่างๆ มีความสามารถในการประมวลผลเทียบเท่ากันหมายความว่าอย่างไร
- ภาษาที่จดจำได้ของทัวริงสามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้หรือไม่?
- ปัญหาการหยุดชะงักของเครื่องทัวริงสามารถตัดสินใจได้หรือไม่?
- หากเรามี TM สองตัวที่อธิบายภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ คำถามที่เท่าเทียมยังคงไม่สามารถตัดสินใจได้ใช่หรือไม่
- ปัญหาการยอมรับสำหรับออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นแตกต่างจากปัญหาของเครื่องจักรทัวริงอย่างไร
- ยกตัวอย่างปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้โดยหุ่นยนต์ที่มีขอบเขตเป็นเส้นตรง
- อธิบายแนวคิดของความสามารถในการตัดสินใจในบริบทของออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้น
- ขนาดของเทปในออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นจะส่งผลต่อจำนวนการกำหนดค่าที่แตกต่างกันอย่างไร
- อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นและเครื่องจักรทัวริง
ดูคำถามและคำตอบเพิ่มเติมในความสามารถในการตัดสินใจ