ภาษาที่จดจำได้ของทัวริงสามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้หรือไม่?

/ / ตีพิมพ์ใน cybersecurity, EITC/IS/CCTF พื้นฐานทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์, ความสามารถในการตัดสินใจ, ภาษาที่ทัวริงไม่รู้จัก

เพื่อตอบคำถามว่าภาษาที่สามารถจดจำได้ของทัวริงสามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้หรือไม่ จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ โดยมุ่งเน้นไปที่การจำแนกภาษาโดยพิจารณาจากความสามารถในการตัดสินใจและการจดจำโดยเฉพาะ

ในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ภาษาคือชุดของสตริงบนตัวอักษรบางตัว และสามารถจำแนกตามประเภทของกระบวนการคำนวณที่สามารถจดจำหรือตัดสินใจได้ เป็นภาษาที่เรียกว่า ทัวริงเป็นที่รู้จัก (หรือ นับซ้ำได้) หากมีเครื่องทัวริงอยู่ซึ่งจะหยุดและยอมรับสตริงใด ๆ ที่เป็นของภาษานั้น อย่างไรก็ตาม หากสตริงนั้นไม่ได้เป็นของภาษา เครื่องทัวริงอาจปฏิเสธหรือทำงานโดยไม่มีกำหนดโดยไม่หยุด ในทางกลับกันภาษาก็คือ ตัดสินใจได้ (หรือ ซ้ำ) หากมีเครื่องทัวริงที่จะหยุดและตัดสินอย่างถูกต้องเสมอว่าสตริงใด ๆ ที่กำหนดเป็นของภาษาหรือไม่

คำจำกัดความและคุณสมบัติ

1. ทัวริงภาษาที่จดจำได้:
– ภาษา ( L ) เป็นที่รู้จักของทัวริงหากมีเครื่องทัวริง ( M ) สำหรับสตริงใด ๆ ( w ):
– ถ้า ( w ใน L ) ดังนั้น ( M ) จะหยุดและยอมรับ ( w ) ในที่สุด
– ถ้า ( ไม่ใช่ L ) ดังนั้น ( M ) ปฏิเสธ ( w ) หรือทำงานตลอดไปโดยไม่หยุด

2. ภาษาที่สามารถตัดสินใจได้:
– ภาษา ( L ) สามารถตัดสินใจได้หากมีเครื่องทัวริง ( M ) อยู่ซึ่งสำหรับสตริงใด ๆ ( w ):
– ถ้า ( w ใน L ) ดังนั้น ( M ) จะหยุดและยอมรับ ( w ) ในที่สุด
– ถ้า ( ไม่ใช่ L ) ดังนั้น ( M ) จะหยุดและปฏิเสธ ( w ) ในที่สุด

จากคำจำกัดความเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าภาษาทัวริงทุกภาษาที่ตัดสินใจได้นั้นสามารถจดจำได้ เนื่องจากเครื่องจักรทัวริงที่ตัดสินภาษาจะหยุดและให้คำตอบเสมอ ดังนั้นจึงจดจำภาษานั้นด้วย อย่างไรก็ตาม การสนทนาไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป เนื่องจากภาษาที่ทัวริงรู้จักไม่ได้รับประกันว่าเครื่องทัวริงจะหยุดทำงานสำหรับสตริงที่ไม่ได้อยู่ในภาษานั้น

ความสัมพันธ์เซตย่อย

หากต้องการตรวจสอบว่าภาษาที่ทัวริงจดจำได้สามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้หรือไม่ ให้พิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

- นิยามเซตย่อย: ภาษา ( A ) เป็นเซตย่อยของภาษา ( B ) ซึ่งแสดงเป็น ( A subseteq B ) หากทุกสตริงใน ( A ) ก็อยู่ใน ( B ) ด้วย อย่างเป็นทางการ ( forall w ใน A, w ใน B )

เนื่องจากภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ทุกภาษานั้นสามารถจดจำได้ของทัวริงด้วย จึงเป็นไปได้ที่ภาษาที่สามารถแยกแยะได้ของทัวริงจะเป็นส่วนหนึ่งของภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ นี่เป็นเพราะว่าภาษาที่ตัดสินใจได้ ( B ) สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นภาษาที่ทัวริงจดจำได้พร้อมคุณสมบัติเพิ่มเติมที่จะหยุดในทุกอินพุต ดังนั้น ถ้า ( A ) เป็นที่รู้จักของทัวริง และ ( B ) สามารถตัดสินใจได้ และถ้าทุกสตริงใน ( A ) ก็อยู่ใน ( B ) ด้วย ดังนั้น ( A ) ก็สามารถเป็นสับเซตของ ( B ) ได้

ตัวอย่างและภาพประกอบ

เพื่ออธิบายแนวคิดนี้ ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

1. 1 ตัวอย่าง:
– ให้ ( L_1 ) เป็นภาษาของสตริงทั้งหมดที่เข้ารหัสโปรแกรม C ที่ถูกต้องซึ่งจะหยุดทำงานเมื่อไม่มีการป้อนข้อมูล เป็นที่ทราบกันว่าภาษานี้สามารถตัดสินใจได้เนื่องจากเราสามารถสร้างเครื่องจักรทัวริงที่จำลองโปรแกรม C แต่ละโปรแกรมและพิจารณาว่าจะหยุดทำงานหรือไม่
– ให้ ( L_2 ) เป็นภาษาของสตริงทั้งหมดที่เข้ารหัสโปรแกรม C ที่ถูกต้อง ภาษานี้เป็นที่รู้จักของทัวริงเนื่องจากเราสามารถสร้างเครื่องทัวริงที่จะตรวจสอบว่าสตริงเป็นโปรแกรม C ที่ถูกต้องหรือไม่
– ชัดเจน ( L_2 subseteq L_1 ) เพราะทุกโปรแกรม C ที่ถูกต้อง (ไม่ว่าจะหยุดหรือไม่ก็ตาม) เป็นสตริงที่ถูกต้องในภาษาของการหยุดโปรแกรม C

2. 2 ตัวอย่าง:
– ให้ ( L_3 ) เป็นภาษาที่ประกอบด้วยสตริงทั้งหมดเหนือตัวอักษร ( {0, 1} ) ที่แสดงเลขฐานสองที่หารด้วย 3 ลงตัว ภาษานี้สามารถตัดสินใจได้เนื่องจากเราสามารถสร้างเครื่องจักรทัวริงที่ทำการหารและตรวจสอบเศษที่เหลือ ของศูนย์
– ให้ ( L_4 ) เป็นภาษาที่ประกอบด้วยสตริงไบนารี่ทั้งหมดที่แทนจำนวนเฉพาะ ภาษานี้เป็นที่จดจำของทัวริงได้เนื่องจากเราสามารถสร้างเครื่องจักรทัวริงที่ตรวจสอบความเป็นปฐมภูมิโดยการทดสอบการหารลงตัว
– ในกรณีนี้ ( L_4 ) ไม่ใช่เซตย่อยของ ( L_3 ) แต่ถ้าเราพิจารณาภาษา ( L_5 ) ของสตริงไบนารี่ที่แทนตัวเลขที่หารด้วย 6 ลงตัว (ซึ่งหารด้วย 3 และเลขคู่ทั้งคู่) ดังนั้น ( L_5 subseteq L_3 ).

ความสามารถในการตัดสินใจและการรับรู้ร่วมกัน

การทำงานร่วมกันระหว่างภาษาที่สามารถแยกแยะได้และภาษาทัวริงที่จดจำได้เผยให้เห็นประเด็นสำคัญหลายประการ:

- คุณสมบัติการปิด: ภาษาที่ตัดสินใจได้จะถูกปิดภายใต้สหภาพ สี่แยก และการเสริม ซึ่งหมายความว่าหาก ( L_1 ) และ ( L_2 ) ตัดสินใจได้ ดังนั้น ( L_1 ถ้วย L_2 ), ( L_1 หมวก L_2 ) และ ( overline{L_1} ) (ส่วนเสริมของ ( L_1 ))
- ทัวริงภาษาที่จดจำได้: สิ่งเหล่านี้ปิดภายใต้สหภาพและทางแยก แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ภายใต้การเสริมกัน นี่เป็นเพราะว่าส่วนเสริมของภาษาทัวริงที่รู้จักอาจไม่เป็นที่รู้จักของทัวริง

ผลกระทบเชิงปฏิบัติในความปลอดภัยทางไซเบอร์

การทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างภาษาที่จดจำได้ของทัวริงและภาษาที่ตัดสินใจได้นั้นมีผลกระทบเชิงปฏิบัติในความปลอดภัยทางไซเบอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของการตรวจสอบโปรแกรมและการตรวจจับมัลแวร์:

- การตรวจสอบโปรแกรม: การตรวจสอบให้แน่ใจว่าโปรแกรมทำงานอย่างถูกต้องสำหรับอินพุตทั้งหมดเป็นปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้สำหรับคลาสเฉพาะของโปรแกรม ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบว่าอัลกอริธึมการเรียงลำดับเรียงลำดับรายการอินพุตใดๆ ได้อย่างถูกต้องนั้นสามารถถูกมองว่าเป็นปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้
- การตรวจจับมัลแวร์: การตรวจหาว่าโปรแกรมที่กำหนดเป็นอันตรายหรือไม่นั้นสามารถถูกมองว่าเป็นปัญหาที่ทัวริงรับรู้ได้ ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์พฤติกรรมหรือรูปแบบบางอย่างสามารถใช้เพื่อจดจำมัลแวร์ที่รู้จัก แต่การตัดสินว่าโปรแกรมที่กำหนดเองใดๆ เป็นอันตรายหรือไม่ (ปัญหาการตรวจจับมัลแวร์) นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ในกรณีทั่วไป

สรุป

โดยพื้นฐานแล้ว ภาษาที่จดจำได้โดยทัวริงสามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้ ความสัมพันธ์นี้เน้นย้ำถึงโครงสร้างลำดับชั้นของคลาสภาษาในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ซึ่งภาษาที่ตัดสินใจได้นั้นแสดงถึงชุดย่อยที่มีข้อจำกัดมากขึ้นของภาษาที่จดจำได้โดยทัวริง ความเข้าใจนี้มีความสำคัญสำหรับแอปพลิเคชันต่างๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และความปลอดภัยทางไซเบอร์ ซึ่งความสามารถในการจดจำและตัดสินใจเกี่ยวกับภาษามีบทบาทสำคัญในการรับรองความถูกต้องและความปลอดภัยของระบบการคำนวณ

คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ความสามารถในการตัดสินใจ:

ดูคำถามและคำตอบเพิ่มเติมในความสามารถในการตัดสินใจ

คำถามและคำตอบเพิ่มเติม:

Tagged under: , , , , ,