ปัญหาความว่างเปล่าสำหรับเครื่องจักรทัวริงจะลดลงเป็นปัญหาความเท่าเทียมสำหรับเครื่องจักรทัวริงได้อย่างไร
ปัญหาความว่างเปล่าและปัญหาสมมูลเป็นปัญหาพื้นฐานสองประการในสาขาทฤษฎีความซับซ้อนทางการคำนวณที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด ในบริบทนี้ ปัญหาความว่างเปล่าหมายถึงการพิจารณาว่าเครื่องจักรทัวริงยอมรับอินพุตใด ๆ หรือไม่ ในขณะที่ปัญหาความเท่าเทียมกันเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าเครื่องจักรทัวริงสองเครื่องยอมรับภาษาเดียวกันหรือไม่ โดยการลดปัญหาความว่างเปล่าให้เป็นปัญหาความสมมูล เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างปัญหาทั้งสองนี้ได้
เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับการลดลง ขั้นแรกให้กำหนดปัญหาความว่างเปล่าอย่างเป็นทางการ จากเครื่องทัวริง M ปัญหาความว่างเปล่าจะถามว่ามีสตริงอินพุต x ที่ M ยอมรับ x หรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการตรวจสอบว่าภาษาที่ M ยอมรับนั้นไม่ว่างเปล่าหรือไม่
ทีนี้ เรามาพิจารณาปัญหาการสมมูลกัน กำหนดให้เครื่องจักรทัวริง M1 และ M2 สองเครื่อง ปัญหาการสมมูลจะถามว่าภาษาที่ยอมรับโดย M1 และ M2 นั้นเหมือนกันหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการตรวจสอบว่า L(M1) = L(M2) โดยที่ L(M) แทนภาษาที่ยอมรับโดย Turing machine M
เพื่อลดปัญหาความว่างเปล่าให้เป็นปัญหาความสมมูล เราจำเป็นต้องสร้างเครื่องจักรทัวริง M1 และ M2 สองเครื่องในลักษณะที่ L(M1) = ∅ (ภาษาว่าง) ก็ต่อเมื่อ L(M2) = L(M) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า M1 ไม่ยอมรับการป้อนข้อมูล ดังนั้น M2 ควรยอมรับภาษาเดียวกับ M
เพื่อให้บรรลุการลดนี้ เราสามารถสร้าง M1 และ M2 ได้ดังนี้:
1. M1: สร้างเครื่องจักรทัวริงที่ปฏิเสธอินพุตใดๆ ในทันที เพื่อให้มั่นใจว่า L(M1) = ∅ เนื่องจาก M1 ไม่ยอมรับอินพุตใดๆ
2. M2: สร้างเครื่องทัวริงที่จำลอง M ในทุกอินพุต ถ้า M ยอมรับอินพุต M2 ก็ยอมรับอินพุตเช่นกัน มิฉะนั้น M2 จะปฏิเสธอินพุต สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่า L(M2) = L(M) เนื่องจาก M2 ยอมรับภาษาเดียวกับ M
การสร้าง M1 และ M2 ด้วยวิธีนี้ เราได้ลดปัญหาความว่างเปล่าให้เป็นปัญหาความสมมูล ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาการสมมูลของ M2 และ M ได้ เราก็สามารถระบุได้ว่า M ยอมรับอินพุตใดๆ หรือไม่ โดยตรวจสอบว่า L(M2) = L(M1) ถ้า L(M2) = L(M1) ดังนั้น M จะไม่ยอมรับอินพุต (L(M) = ∅) มิฉะนั้น M จะยอมรับอย่างน้อยหนึ่งอินพุต
โดยสรุป ปัญหาความว่างเปล่าสำหรับเครื่องจักรทัวริงสามารถลดเป็นปัญหาความเท่าเทียมสำหรับเครื่องจักรทัวริงได้โดยการสร้างเครื่องจักรทัวริง M1 และ M2 สองเครื่อง M1 ไม่ยอมรับอินพุต ในขณะที่ M2 จำลอง M ในทุกอินพุต โดยการตรวจสอบว่า L(M2) = L(M1) เราสามารถระบุได้ว่า M ยอมรับอินพุตใดๆ หรือไม่
ตัวอย่าง:
ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ เพื่ออธิบายการลดลง สมมติว่าเรามีเครื่องทัวริง M ที่ยอมรับภาษา L = {0, 1} เพื่อลดปัญหาความว่างเปล่าของ M กับปัญหาการสมมูล เราสร้าง M1 และ M2 ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น
1. M1: เครื่องจักรทัวริงที่ปฏิเสธอินพุตใดๆ ในทันที
2. M2: เครื่องทัวริงที่จำลอง M ในทุกอินพุต ถ้า M ยอมรับอินพุต M2 ก็ยอมรับอินพุตเช่นกัน มิฉะนั้น M2 จะปฏิเสธอินพุต
ตอนนี้เพื่อตรวจสอบว่า M ยอมรับอินพุตใด ๆ เราตรวจสอบว่า L(M2) = L(M1) หรือไม่ ถ้า L(M2) = L(M1) ดังนั้น M จะไม่ยอมรับอินพุต (L(M) = ∅) มิฉะนั้น M จะยอมรับอย่างน้อยหนึ่งอินพุต
ในตัวอย่างนี้ ถ้า L(M2) = L(M1) ดังนั้น M จะไม่ยอมรับอินพุต อย่างไรก็ตาม ถ้า L(M2) ≠ L(M1) แสดงว่า M ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งอินพุต
โดยการลดปัญหาความว่างเปล่าให้เป็นปัญหาความสมมูล เราสร้างความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาพื้นฐานทั้งสองนี้ในทฤษฎีความซับซ้อนทางการคำนวณ
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ความสามารถในการตัดสินใจ:
- เทปสามารถจำกัดขนาดของอินพุตได้หรือไม่ (ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนหัวของเครื่องทัวริงที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่เกินกว่าอินพุตของเทป TM)
- การที่ Turing Machines รุ่นต่างๆ มีความสามารถในการประมวลผลเทียบเท่ากันหมายความว่าอย่างไร
- ภาษาที่จดจำได้ของทัวริงสามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้หรือไม่?
- ปัญหาการหยุดชะงักของเครื่องทัวริงสามารถตัดสินใจได้หรือไม่?
- หากเรามี TM สองตัวที่อธิบายภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ คำถามที่เท่าเทียมยังคงไม่สามารถตัดสินใจได้ใช่หรือไม่
- ปัญหาการยอมรับสำหรับออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นแตกต่างจากปัญหาของเครื่องจักรทัวริงอย่างไร
- ยกตัวอย่างปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้โดยหุ่นยนต์ที่มีขอบเขตเป็นเส้นตรง
- อธิบายแนวคิดของความสามารถในการตัดสินใจในบริบทของออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้น
- ขนาดของเทปในออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นจะส่งผลต่อจำนวนการกำหนดค่าที่แตกต่างกันอย่างไร
- อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นและเครื่องจักรทัวริง
ดูคำถามและคำตอบเพิ่มเติมในความสามารถในการตัดสินใจ