อธิบายการพิสูจน์ความไม่แน่ใจสำหรับปัญหาภาษาเปล่าโดยใช้เทคนิคลดทอน
การพิสูจน์ความไม่แน่นอนสำหรับปัญหาภาษาที่ว่างเปล่าโดยใช้เทคนิคการลดเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์ ข้อพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุได้ว่าเครื่องทัวริง (TM) ยอมรับสตริงใดๆ หรือไม่ ในคำอธิบายนี้ เราจะพิจารณารายละเอียดของหลักฐานนี้ เพื่อให้เกิดความเข้าใจที่ครอบคลุมในหัวข้อนี้
ในการเริ่มต้น ให้กำหนดปัญหาภาษาว่าง เมื่อกำหนด TM M ปัญหาภาษาว่างจะถามว่าภาษาที่ยอมรับโดย M ว่างเปล่าหรือไม่ หมายความว่าไม่มีสตริงที่ M ยอมรับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการตรวจสอบว่ามีอย่างน้อยหนึ่งสตริงที่ M ยอมรับหรือไม่
เพื่อพิสูจน์ความไม่แน่นอนของปัญหานี้ เราใช้เทคนิคการลดลง การลดลงเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์ที่ช่วยให้เราสามารถแสดงปัญหาที่ตัดสินใจไม่ได้ของปัญหาหนึ่งโดยลดปัญหานั้นให้เป็นปัญหาที่ตัดสินใจไม่ได้ที่รู้จักอีกปัญหาหนึ่ง
ในกรณีนี้ เราลดปัญหาการหยุดลงเป็นปัญหาภาษาว่าง ปัญหาการหยุดชะงักเป็นตัวอย่างคลาสสิกของปัญหาที่ตัดสินใจไม่ได้ ซึ่งถามว่า TM ที่กำหนดหยุดตามอินพุตที่กำหนดหรือไม่ เราถือว่าปัญหาการหยุดชะงักเป็นสิ่งที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ และใช้สมมติฐานนี้เพื่อพิสูจน์ความสามารถในการตัดสินใจไม่ได้ของปัญหาภาษาว่างเปล่า
ดำเนินการลดดังต่อไปนี้:
1. กำหนดอินพุต (M, w) สำหรับปัญหาการหยุดชะงัก สร้าง TM M' ใหม่ดังนี้:
– M' ละเว้นอินพุตและจำลอง M บน w
– ถ้า M หยุดที่ w แสดงว่า M' เข้าสู่วงวนไม่สิ้นสุดและยอมรับ
– ถ้า M ไม่หยุดที่ w แสดงว่า M' หยุดและปฏิเสธ
2. ตอนนี้ เราอ้างว่า (M, w) เป็นตัวอย่างเชิงบวกของปัญหาการหยุดชะงัก หากภาษาที่ยอมรับโดย M' ว่างเปล่า
– ถ้า (M, w) เป็นตัวอย่างเชิงบวกของปัญหาการหยุด แสดงว่า M หยุดที่ w ในกรณีนี้ M' เข้าสู่วงวนไม่สิ้นสุดและไม่ยอมรับสตริงใดๆ ดังนั้นภาษาที่ M' ยอมรับจึงว่างเปล่า
– ในทางกลับกัน หากภาษาที่ M' ยอมรับว่างเปล่า แสดงว่า M' ไม่ยอมรับสตริงใดๆ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ M ไม่หยุดที่ w มิฉะนั้น M' จะเข้าสู่การวนซ้ำไม่สิ้นสุดและไม่ยอมรับสตริง ดังนั้น (M, w) เป็นตัวอย่างเชิงบวกของปัญหาการหยุดชะงัก
ดังนั้นเราจึงลดปัญหาการหยุดชะงักที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ให้เป็นปัญหาภาษาว่างเปล่าได้สำเร็จ เนื่องจากปัญหาการหยุดเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ การลดลงนี้จึงกำหนดความสามารถในการตัดสินใจไม่ได้ของปัญหาภาษาเปล่าเช่นกัน
การพิสูจน์ความสามารถในการตัดสินใจไม่ได้สำหรับปัญหาภาษาว่างโดยใช้เทคนิคการลดทอนแสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินว่า TM ยอมรับสตริงใดๆ หรือไม่ บทพิสูจน์นี้ขึ้นอยู่กับการลดลงจากปัญหาการหยุดชะงักไปสู่ปัญหาภาษาว่าง ซึ่งแสดงให้เห็นถึงพลังของการลดลงในการสร้างความไม่แน่นอน
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ความสามารถในการตัดสินใจ:
- เทปสามารถจำกัดขนาดของอินพุตได้หรือไม่ (ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนหัวของเครื่องทัวริงที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่เกินกว่าอินพุตของเทป TM)
- การที่ Turing Machines รุ่นต่างๆ มีความสามารถในการประมวลผลเทียบเท่ากันหมายความว่าอย่างไร
- ภาษาที่จดจำได้ของทัวริงสามารถสร้างชุดย่อยของภาษาที่ตัดสินใจได้หรือไม่?
- ปัญหาการหยุดชะงักของเครื่องทัวริงสามารถตัดสินใจได้หรือไม่?
- หากเรามี TM สองตัวที่อธิบายภาษาที่สามารถตัดสินใจได้ คำถามที่เท่าเทียมยังคงไม่สามารถตัดสินใจได้ใช่หรือไม่
- ปัญหาการยอมรับสำหรับออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นแตกต่างจากปัญหาของเครื่องจักรทัวริงอย่างไร
- ยกตัวอย่างปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้โดยหุ่นยนต์ที่มีขอบเขตเป็นเส้นตรง
- อธิบายแนวคิดของความสามารถในการตัดสินใจในบริบทของออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้น
- ขนาดของเทปในออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นจะส่งผลต่อจำนวนการกำหนดค่าที่แตกต่างกันอย่างไร
- อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างออโตมาตาที่มีขอบเขตเชิงเส้นและเครื่องจักรทัวริง
ดูคำถามและคำตอบเพิ่มเติมในความสามารถในการตัดสินใจ