การที่ Turing Machines รุ่นต่างๆ มีความสามารถในการประมวลผลเทียบเท่ากันหมายความว่าอย่างไร
การสอบถามว่าเครื่องจักรทัวริงทุกรูปแบบมีความสามารถในการประมวลผลเทียบเท่ากันหรือไม่นั้นเป็นคำถามพื้นฐานในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณและความสามารถในการตัดสินใจ เพื่อแก้ไขปัญหานี้ จำเป็นต้องพิจารณาธรรมชาติของเครื่องจักรทัวริงและแนวคิดเรื่องความเทียบเท่าทางคอมพิวเตอร์
เครื่องทัวริงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของการคำนวณที่อลัน ทัวริงนำมาใช้ในปี พ.ศ. 1936 ประกอบด้วยเทปอนันต์ หัวเทปที่สามารถอ่านและเขียนสัญลักษณ์บนเทปได้ ชุดสถานะจำกัด และฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านที่ กำหนดการทำงานของเครื่องตามสถานะปัจจุบันและสัญลักษณ์ที่กำลังอ่าน เครื่องทัวริงมาตรฐาน ซึ่งมักเรียกกันว่าเครื่องทัวริง "คลาสสิก" หรือ "เทปเดี่ยว" ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองพื้นฐานสำหรับการกำหนดกระบวนการคำนวณ
เครื่องจักรทัวริงมีหลากหลายรูปแบบ โดยแต่ละรูปแบบมีการกำหนดค่าหรือการปรับปรุงที่แตกต่างกัน รูปแบบที่โดดเด่นบางส่วน ได้แก่:
1. เครื่องจักรทัวริงแบบหลายเทป: เครื่องเหล่านี้มีหลายเทปและหัวเทปที่สอดคล้องกัน แต่ละเทปทำงานแยกจากกัน และฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจะขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ที่อ่านจากเทปทั้งหมด แม้จะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น แต่เครื่องจักรทัวริงแบบหลายเทปก็เทียบเท่ากับการคำนวณกับเครื่องจักรทัวริงแบบเทปเดี่ยว ซึ่งหมายความว่าการคำนวณใดๆ ที่ดำเนินการโดยเครื่องทัวริงแบบหลายเทปสามารถจำลองได้ด้วยเครื่องทัวริงแบบเทปเดียว แม้ว่าจะเพิ่มพหุนามในจำนวนขั้นตอนที่ต้องการก็ตาม
2. เครื่องจักรทัวริงที่ไม่สามารถกำหนดได้ (NTM): เครื่องเหล่านี้สามารถทำการเปลี่ยนสถานะและสัญลักษณ์อินพุตที่กำหนดได้หลายครั้ง โดยแยกออกเป็นหลายเส้นทางการคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ แม้ว่า NTM สามารถสำรวจเส้นทางการคำนวณจำนวนมากได้พร้อมๆ กัน แต่ก็ยังมีความสามารถในการคำนวณเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริงที่กำหนด (DTM) ภาษาใดๆ ที่รู้จักโดย NTM ก็สามารถรับรู้โดย DTM ได้เช่นกัน แม้ว่าการจำลองอาจต้องใช้เวลาแบบเอกซ์โปเนนเชียลในกรณีที่เลวร้ายที่สุด
3. เครื่องทัวริงอเนกประสงค์ (UTM): UTM คือเครื่องจักรทัวริงที่สามารถจำลองเครื่องจักรทัวริงอื่นๆ ได้ ใช้เป็นคำอธิบายของเครื่องทัวริงอื่นและสตริงอินพุตสำหรับเครื่องนั้น จากนั้น UTM จะจำลองการทำงานของเครื่องที่อธิบายไว้บนสตริงอินพุต การมีอยู่ของ UTM แสดงให้เห็นว่าเครื่องจักรเครื่องเดียวสามารถทำการคำนวณใดๆ ก็ตามที่เครื่องจักรทัวริงอื่นๆ สามารถทำได้ โดยเน้นถึงความเป็นสากลของโมเดลเครื่องจักรทัวริง
4. เครื่องจักรทัวริงด้วยเทปกึ่งอนันต์: เครื่องจักรเหล่านี้มีเทปที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทิศทางเดียวเท่านั้น มีการคำนวณเทียบเท่ากับเครื่องทัวริงมาตรฐาน เนื่องจากการคำนวณใดๆ ที่ดำเนินการโดยเครื่องทัวริงเทปกึ่งอนันต์สามารถจำลองโดยเครื่องทัวริงมาตรฐานพร้อมการเข้ารหัสเนื้อหาเทปที่เหมาะสม
5. เครื่องจักรทัวริงที่มีหลายหัว: เครื่องเหล่านี้มีหัวเทปหลายหัวที่สามารถอ่านและเขียนบนเทปแผ่นเดียวได้ เช่นเดียวกับเครื่องทัวริงแบบเทปหลายเครื่อง เครื่องทัวริงแบบหลายหัวมีการคำนวณเทียบเท่ากับเครื่องทัวริงแบบเทปเดี่ยว โดยการจำลองอาจต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติม
6. เครื่องสลับทัวริง (ATM): เครื่องจักรเหล่านี้ทำให้ NTM เป็นภาพรวมโดยอนุญาตให้สถานะถูกกำหนดให้เป็นสถานะที่มีอยู่หรือเป็นสากล ATM จะยอมรับอินพุตหากมีลำดับของการย้ายจากสถานะเริ่มต้นไปยังสถานะการยอมรับที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่มีอยู่และเป็นสากล นอกจากนี้ ตู้เอทีเอ็มยังคำนวณได้เทียบเท่ากับ DTM ในแง่ของภาษาที่ตู้เอทีเอ็มรู้จัก แม้ว่าคลาสความซับซ้อนที่ตู้เอทีเอ็มกำหนดลักษณะ เช่น ลำดับชั้นพหุนาม จะแตกต่างกันก็ตาม
7. เครื่องทัวริงควอนตัม (QTM): เครื่องจักรเหล่านี้รวมหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมเข้าด้วยกัน เพื่อให้สามารถวางซ้อนและพันกันของรัฐได้ แม้ว่า QTM จะสามารถแก้ไขปัญหาบางอย่างได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าเครื่องทัวริงแบบคลาสสิก (เช่น การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มขนาดใหญ่โดยใช้อัลกอริทึมของ Shor) แต่พวกมันก็ไม่ได้ทรงพลังไปกว่าในแง่ของคลาสของฟังก์ชันที่คำนวณได้ ฟังก์ชันใดๆ ที่คำนวณได้โดย QTM ก็สามารถคำนวณโดยเครื่องทัวริงแบบคลาสสิกได้เช่นกัน
ความเท่าเทียมกันของความสามารถในการคำนวณของเครื่องจักรทัวริงที่แตกต่างกันนั้นมีพื้นฐานมาจากวิทยานิพนธ์ของคริสตจักรทัวริง วิทยานิพนธ์นี้ตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชันใดๆ ที่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยแบบจำลองการคำนวณที่สมเหตุสมผลใดๆ ก็สามารถคำนวณโดยเครื่องทัวริงได้เช่นกัน ด้วยเหตุนี้ เครื่องทัวริงทุกรูปแบบที่กล่าวมาข้างต้นจึงเทียบเท่ากันในแง่ของความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันและจดจำภาษา แม้ว่าอาจแตกต่างกันในด้านประสิทธิภาพหรือความซับซ้อนของการจำลองก็ตาม
เพื่อแสดงให้เห็นความเท่าเทียมกันนี้ ให้พิจารณางานจำลองเครื่องทัวริงแบบหลายเทปโดยใช้เครื่องทัวริงแบบเทปเดียว สมมติว่าเรามีเครื่องทัวริงแบบหลายเทปที่มีเทป (k) เราสามารถจำลองเครื่องนี้ด้วยเครื่องทัวริงแบบเทปเดียวโดยการเข้ารหัสเนื้อหาของเทป (k) ทั้งหมดลงในเทปเดียว เทปของเครื่องเทปเดี่ยวสามารถแบ่งออกเป็นส่วน (k) โดยแต่ละส่วนแสดงถึงหนึ่งในเทปดั้งเดิม สถานะของเครื่องสามารถรวมข้อมูลเกี่ยวกับตำแหน่งของหัวเทปบนเทป (k) แต่ละเทปได้ ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านของเครื่องเทปเดี่ยวสามารถออกแบบให้เลียนแบบพฤติกรรมของเครื่องมัลติเทปได้โดยการอัปเดตเนื้อหาเทปที่เข้ารหัสและตำแหน่งส่วนหัวตามลำดับ แม้ว่าการจำลองนี้อาจต้องใช้ขั้นตอนมากกว่าเครื่องมัลติเทปแบบเดิม แต่ก็แสดงให้เห็นว่าเครื่องเทปเดี่ยวสามารถทำการคำนวณแบบเดียวกันได้
ในทำนองเดียวกัน การจำลองเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดไว้ด้วยเครื่องทัวริงที่กำหนดนั้นเกี่ยวข้องกับการสำรวจเส้นทางการคำนวณที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ NTM อย่างเป็นระบบ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เทคนิคต่างๆ เช่น การค้นหาแบบกว้างก่อนหรือการค้นหาเชิงลึกเป็นอันดับแรก เพื่อให้มั่นใจว่าเส้นทางทั้งหมดได้รับการตรวจสอบในที่สุด แม้ว่าการจำลองอาจช้ากว่าแบบทวีคูณ แต่ก็เป็นการยืนยันว่า DTM สามารถจดจำภาษาเดียวกันกับ NTM ได้
ความเป็นสากลของเครื่องจักรทัวริงนั้นมีตัวอย่างจากการมีอยู่ของเครื่องจักรทัวริงที่เป็นสากล UTM สามารถจำลองเครื่องจักรทัวริงอื่นๆ ได้โดยการตีความคำอธิบายของเครื่องเป้าหมายและอินพุต ความสามารถนี้เน้นย้ำหลักการพื้นฐานที่ว่าแบบจำลองการคำนวณตัวเดียวสามารถสรุปพฤติกรรมของแบบจำลองอื่นๆ ทั้งหมดได้ ซึ่งตอกย้ำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันในการคำนวณ
แม้ว่าเครื่องจักรทัวริงในรูปแบบต่างๆ อาจมีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกันในแง่ของประสิทธิภาพ ความง่ายในการเขียนโปรแกรม หรือความชัดเจนของแนวความคิด แต่ทั้งหมดก็มีความสามารถในการคำนวณที่เทียบเท่ากัน ความเท่าเทียมกันนี้เป็นรากฐานสำคัญของวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ซึ่งเป็นกรอบการทำงานที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับการทำความเข้าใจขีดจำกัดของการคำนวณและธรรมชาติของความสามารถในการตัดสินใจ
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ฟังก์ชันที่คำนวณได้:
- อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันที่คำนวณได้กับการมีอยู่ของเครื่องจักรทัวริงที่สามารถคำนวณได้
- อะไรคือความสำคัญของเครื่องทัวริงที่หยุดทำงานเสมอเมื่อคำนวณฟังก์ชันที่คำนวณได้?
- เครื่องจักรทัวริงสามารถปรับเปลี่ยนให้ยอมรับฟังก์ชันได้ตลอดเวลาหรือไม่? อธิบายว่าเหตุใดหรือเพราะเหตุใด
- เครื่องทัวริงคำนวณฟังก์ชันอย่างไร และเทปอินพุตและเอาต์พุตมีหน้าที่อย่างไร
- ฟังก์ชันที่คำนวณได้ในบริบทของทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์คืออะไร และนิยามของมันอย่างไร