ฟังก์ชันที่คำนวณได้ในบริบทของทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์คืออะไร และนิยามของมันอย่างไร
ฟังก์ชันที่คำนวณได้ ในบริบทของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ หมายถึงฟังก์ชันที่อัลกอริทึมสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นแนวคิดพื้นฐานในสาขาวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และมีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจขอบเขตของการคำนวณ
ในการกำหนดฟังก์ชันที่คำนวณได้ เราจำเป็นต้องสร้างกรอบที่เป็นทางการซึ่งช่วยให้เราสามารถให้เหตุผลเกี่ยวกับความสามารถและข้อจำกัดของแบบจำลองการคำนวณ กรอบการทำงานอย่างหนึ่งคือ Turing machine ซึ่งได้รับการแนะนำโดย Alan Turing ในปี 1936 Turing machine เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมที่ประกอบด้วยเทปที่แบ่งเป็นเซลล์ หัวอ่าน-เขียน และชุดของสถานะ เครื่องทำงานโดยการอ่านสัญลักษณ์บนเซลล์ปัจจุบัน เปลี่ยนสถานะใหม่ตามสถานะปัจจุบันและสัญลักษณ์ และแก้ไขสัญลักษณ์บนเซลล์ปัจจุบัน นอกจากนี้ยังสามารถเลื่อนหัวอ่าน-เขียนไปทางซ้ายหรือขวาได้หนึ่งเซลล์
ในบริบทของเครื่องจักรทัวริง ฟังก์ชันที่คำนวณได้ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันที่มีเครื่องจักรทัวริงอยู่ ซึ่งให้อินพุตใด ๆ หยุดและสร้างเอาต์พุตที่ถูกต้องสำหรับอินพุตนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันสามารถคำนวณได้หากมีอัลกอริทึมที่สามารถคำนวณค่าสำหรับอินพุตที่กำหนด แนวคิดนี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความสามารถในการตัดสินใจ ซึ่งหมายถึงความสามารถในการพิจารณาว่าข้อมูลที่ได้รับนั้นตรงตามคุณสมบัติเฉพาะหรือไม่
แนวคิดของฟังก์ชันที่คำนวณได้สามารถทำให้เป็นทางการได้โดยใช้แนวคิดเรื่องความซับซ้อนของเวลา ความซับซ้อนของเวลาวัดระยะเวลาที่อัลกอริทึมต้องการเพื่อแก้ปัญหาเป็นฟังก์ชันของขนาดของอินพุต ฟังก์ชันสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม ถ้ามีเครื่องทัวริงที่สามารถคำนวณฟังก์ชันในจำนวนขั้นตอนที่เป็นพหุนามในขนาดของอินพุต ฟังก์ชันการคำนวณเวลาแบบโพลิโนเมียลถือว่ามีประสิทธิภาพ เนื่องจากเวลาทำงานจะเพิ่มขึ้นสูงสุดแบบโพลิโนเมียลตามขนาดอินพุต
เพื่อแสดงแนวคิดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ ลองพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ฟังก์ชันนี้รับอินพุต n และส่งกลับค่าจริงหาก n เป็นจำนวนเฉพาะและเป็นเท็จ ฟังก์ชันการทดสอบความเป็นอันดับหนึ่งนั้นสามารถคำนวณได้ เนื่องจากมีอัลกอริธึมอยู่ เช่น Sieve of Eratosthenes ที่สามารถระบุความเป็นอันดับหนึ่งของจำนวนใดๆ ก็ตาม
ในทางตรงข้าม ให้พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดว่าโปรแกรมที่กำหนดหยุดบนอินพุตเฉพาะหรือไม่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าปัญหาการหยุดทำงาน ไม่สามารถคำนวณได้ สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Alan Turing ในปี 1936 โดยใช้เทคนิคที่เรียกว่า diagonalization บทพิสูจน์ของทัวริงแสดงให้เห็นว่าไม่มีอัลกอริธึมใดที่สามารถตัดสินใจสำหรับโปรแกรมและอินพุตใดๆ ได้ว่าโปรแกรมจะหยุดหรือทำงานตลอดไป
ฟังก์ชันที่คำนวณได้ในบริบทของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณหมายถึงฟังก์ชันที่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยอัลกอริทึม เป็นแนวคิดพื้นฐานในวิทยาการคอมพิวเตอร์และเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความสามารถในการตัดสินใจ แนวคิดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ได้รับการทำให้เป็นทางการโดยใช้เครื่องทัวริงและความซับซ้อนของเวลา แม้ว่าฟังก์ชันหลายอย่างจะคำนวณได้ แต่ก็มีฟังก์ชันต่างๆ เช่น ปัญหาการหยุดทำงาน ซึ่งพิสูจน์ไม่ได้ว่าคำนวณได้
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ฟังก์ชันที่คำนวณได้:
- การที่ Turing Machines รุ่นต่างๆ มีความสามารถในการประมวลผลเทียบเท่ากันหมายความว่าอย่างไร
- อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันที่คำนวณได้กับการมีอยู่ของเครื่องจักรทัวริงที่สามารถคำนวณได้
- อะไรคือความสำคัญของเครื่องทัวริงที่หยุดทำงานเสมอเมื่อคำนวณฟังก์ชันที่คำนวณได้?
- เครื่องจักรทัวริงสามารถปรับเปลี่ยนให้ยอมรับฟังก์ชันได้ตลอดเวลาหรือไม่? อธิบายว่าเหตุใดหรือเพราะเหตุใด
- เครื่องทัวริงคำนวณฟังก์ชันอย่างไร และเทปอินพุตและเอาต์พุตมีหน้าที่อย่างไร