เครื่องตรวจสอบเวลาแบบโพลิโนเมียลสามารถแปลงเป็นเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนดค่าที่เทียบเท่าได้อย่างไร
สามารถแปลงเครื่องตรวจสอบความถูกต้องในเวลาพหุนามให้เป็นเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนดได้เทียบเท่ากัน โดยการสร้างเครื่องที่สามารถเดาใบรับรองการพิสูจน์และตรวจสอบความถูกต้องได้ในเวลาพหุนาม การแปลงนี้อยู่บนพื้นฐานของแนวคิดการคำนวณแบบไม่กำหนด ซึ่งช่วยให้เครื่องสามารถสำรวจเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดพร้อมกันได้
เพื่อให้เข้าใจการแปลงนี้ เรามาเริ่มต้นด้วยการนิยามก่อนว่า ตัวตรวจสอบเวลาพหุนามคืออะไร ในทฤษฎีความซับซ้อนของการคำนวณ ตัวตรวจสอบเวลาพหุนามคือเครื่องจักรทัวริงแบบกำหนดได้ ซึ่งสามารถตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบสำหรับปัญหาการตัดสินใจได้ในเวลาพหุนาม โดยรับอินพุตสองอย่าง ได้แก่ ตัวอย่างปัญหาและใบรับรองการพิสูจน์ และตรวจสอบว่าใบรับรองนั้นเป็นการพิสูจน์ที่ถูกต้องสำหรับตัวอย่างที่กำหนดหรือไม่
ในการแปลงตัวตรวจสอบเวลาพหุนามให้เป็นเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนดที่เทียบเท่ากัน เราจำเป็นต้องพิจารณาคุณสมบัติของการคำนวณแบบไม่กำหนด ในเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนด ในแต่ละขั้นตอน เครื่องสามารถอยู่ในหลายสถานะและสามารถเปลี่ยนไปสู่หลายสถานะพร้อมกันได้ ซึ่งทำให้เครื่องสามารถสำรวจเส้นทางการคำนวณที่เป็นไปได้ทั้งหมดแบบขนานได้
ในการแปลงตัวตรวจสอบ เราสามารถสร้างเครื่องจักรทัวริงแบบไม่กำหนด (non-deterministic Turing machine) ที่เดาใบรับรองการพิสูจน์ แล้วจำลองตัวตรวจสอบบนเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมด หากเส้นทางใดเส้นทางหนึ่งยอมรับ เครื่องจักรแบบไม่กำหนดก็จะยอมรับ มิฉะนั้นก็จะปฏิเสธ
เรามาลองยกตัวอย่างเพื่ออธิบายเรื่องนี้กัน สมมติว่าเรามีตัวตรวจสอบความถูกต้องในเวลาพหุนามสำหรับปัญหาการระบายสีกราฟ ตัวตรวจสอบนี้รับกราฟและสีของจุดยอดเป็นอินพุต และตรวจสอบว่าการระบายสีนั้นถูกต้องหรือไม่โดยการตรวจสอบว่าไม่มีจุดยอดที่อยู่ติดกันมีสีเดียวกัน
ในการแปลงตัวตรวจสอบนี้ให้เป็นเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนด เราสร้างเครื่องจักรที่เดาการระบายสีแล้วจำลองตัวตรวจสอบบนการระบายสีที่เป็นไปได้ทั้งหมดพร้อมกัน หากการระบายสีใด ๆ ตรงตามข้อจำกัดของการระบายสี เครื่องจักรแบบไม่กำหนดจะยอมรับ มิฉะนั้นจะปฏิเสธ
ในตัวอย่างนี้ เครื่องจักรแบบไม่กำหนดผลลัพธ์จะเดาการระบายสีโดยการกำหนดสีให้กับจุดยอดพร้อมกัน จากนั้นจะจำลองตัวตรวจสอบบนการระบายสีที่เป็นไปได้แต่ละแบบ โดยตรวจสอบว่าการระบายสีนั้นถูกต้องหรือไม่ หากการจำลองใดๆ ยอมรับ เครื่องจักรแบบไม่กำหนดผลลัพธ์ก็จะยอมรับเช่นกัน
โดยใช้การแปลงนี้ เราจะเห็นได้ว่าตัวตรวจสอบเวลาพหุนามสามารถแปลงเป็นเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนดที่เทียบเท่ากันได้ การแปลงนี้ช่วยให้เราสามารถวิเคราะห์ความซับซ้อนของปัญหาในกลุ่ม NP (เวลาพหุนามแบบไม่กำหนด) โดยพิจารณาจากการมีอยู่ของตัวตรวจสอบเวลาพหุนาม
เครื่องตรวจสอบความถูกต้องแบบใช้เวลาพหุนามสามารถแปลงเป็นเครื่องทัวริงแบบไม่กำหนดที่เทียบเท่ากันได้ โดยการสร้างเครื่องที่เดาใบรับรองการพิสูจน์และตรวจสอบความถูกต้องบนเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดพร้อมกัน การแปลงนี้ทำให้เราสามารถวิเคราะห์ความซับซ้อนของปัญหาในกลุ่ม NP ได้
คำถามและคำตอบล่าสุดอื่น ๆ เกี่ยวกับ ความซับซ้อน:
- คลาส PSPACE ไม่เท่ากับคลาส EXPSPACE หรือไม่
- คลาสความซับซ้อน P เป็นส่วนย่อยของคลาส PSPACE หรือไม่
- เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าคลาส Np และ P เหมือนกันหรือไม่โดยการค้นหาคำตอบพหุนามที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา NP ที่สมบูรณ์บน TM ที่กำหนดขึ้น
- คลาส NP สามารถเท่ากับคลาส EXPTIME ได้หรือไม่
- มีปัญหาใน PSPACE ที่ไม่มีอัลกอริทึม NP ที่รู้จักหรือไม่
- ปัญหา SAT สามารถเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ของ NP ได้หรือไม่
- ปัญหาอาจอยู่ในคลาสความซับซ้อนของ NP ได้หรือไม่ หากมีเครื่องทัวริงที่ไม่สามารถกำหนดได้ซึ่งจะแก้ไขในเวลาพหุนาม
- NP คือคลาสของภาษาที่มีตัวตรวจสอบเวลาพหุนาม
- P และ NP เป็นคลาสความซับซ้อนเดียวกันจริงหรือ
- ทุกบริบทเป็นภาษาฟรีในคลาสความซับซ้อน P หรือไม่
ดูคำถามและคำตอบเพิ่มเติมในความซับซ้อน